Remplir les espérances de quelqu'un"

Combler l'attente de quelqu'un.

Cette expression tire sa signification du verbe "remplir" pris dans son sens figuré de "réaliser, exécuter, accomplir, effectuer". Ici, on imagine que "les espérances" sont symbolisées par un trou que l'on remplit, que l'on comble par l'achèvement des actes demandés.